In diesem Kapitel schauen wir uns die 2.Binomische Formel etwas genauer an.
Inhaltsverzeichnis
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Binom?
- Binomische Formeln
Einordnung
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass zwei Binome miteinander multipliziert werden.Dabei kommen insbesondere folgende drei Aufgabenstellungen vor:
$(a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$$(a - b) \cdot (a - b) = (a - b)^2$$(a + b) \cdot (a - b)$
Um die Berechnung dieser Produkte zu vereinfachen, verwenden wir die binomischen Formeln:
| 1. Binomische Formel (Plus-Formel) | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| 2. Binomische Formel (Minus-Formel) | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ |
| 3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel) | $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ |
Formel
2. Binomische Formel
$$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
In der Schule lernt man meist zwei Möglichkeiten kennen, um die 2.Binomische Formel herzuleiten: Die algebraische und die geometrische Herleitung. Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf die algebraische Herleitung.
Algebraische Herleitung
Wer sich mit Potenzen auskennt, weiß, dass $(a-b)^2$ die abkürzende Schreibweise von $(a-b) \cdot (a-b)$ ist. Wie man Klammern ausmultipliziert, haben wir bereits im Kapitel Ausmultiplizieren besprochen. In dem entsprechenden Kapitel steht:
Eine Klammer wird mit einer Klammer multipliziert, indemjedes Glied der ersten Klammermit jedem Glied der zweiten Klammermultipliziert wird.
$$ \begin{align*} ({\color{red}a}{\color{maroon}\:-\:b}) \cdot (a-b) &= {\color{red}a} \cdot a + {\color{red}a} \cdot (-b) {\color{maroon}\:-\:b} \cdot a {\color{maroon}\:-\:b} \cdot (-b) \\[5px] &= a \cdot a - a \cdot b - a \cdot b + b \cdot b \\[5px] &= a^2 - 2ab + b^2 \end{align*} $$
Anmerkung: Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen von $b \cdot a$ (2.Zeile) in $a \cdot b$.
Anwendungen
Ausmultiplizieren
Wir müssen ausmultiplizieren, wenn $(a-b)^2$ gegeben und $a^2 - 2ab + b^2$ gesucht ist.
Quadrat des 1.Glieds berechnen
Doppeltes Produkt der beiden Glieder berechnen
Quadrat des 2.Glieds berechnen
$$ \begin{array}{ccccccc} ({\color{red}a}-{\color{maroon}b})^2 & = & {\color{red}a}^2 & - & 2{\color{red}a}{\color{maroon}b} & + & {\color{maroon}b}^2 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Doppeltes Produkt}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{der beiden Glieder}&&\text{2. Glied} \\ &&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ &&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}} \end{array} $$
Beispiel 1
Berechne den Term $(x-5)^2$.
$$ \begin{array}{ccccccc} ({\color{red}x}-{\color{maroon}5})^2 & = & {\color{red}x}^2 & - & 2 \cdot {\color{red}x} \cdot {\color{maroon}5} & + & {\color{maroon}5}^2 \\ & = & x^2 & - & 10x & + & 25 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Doppeltes Produkt}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{der beiden Glieder}&&\text{2. Glied} \end{array} $$
Beispiel 2
Berechne den Term $(2x-3)^2$.
$$ \begin{array}{ccccccc} ({\color{red}2x}-{\color{maroon}3})^2 & = & ({\color{red}2x})^2 & - & 2 \cdot {\color{red}2x} \cdot {\color{maroon}3} & + & {\color{maroon}3}^2 \\ & = & 4x^2 & - & 12x & + & 9 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Doppeltes Produkt}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{der beiden Glieder}&&\text{2. Glied} \end{array} $$
Durch Anwendung der 2.Binomischen Formel wird das Ausmultiplizieren von Termen der Form $(a-b)^2$ erheblich vereinfacht. Ohne die Formel müssten wir nämlich jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:
Beispiel 3
$$ \begin{align*} ({\color{red}2x}{\color{maroon}\:-\:3}) \cdot (2x-3) &= {\color{red}2x} \cdot 2x + {\color{red}2x} \cdot (-3) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot 2x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-3) \\[5px] &= 4x^2 - 6x - 6x + 9 \\[5px] &= 4x^2 - 12x + 9 \end{align*} $$
Faktorisieren
Wir müssen faktorisieren, wenn $a^2 - 2ab + b^2$ gegeben und $(a-b)^2$ gesucht ist.
Basen der beiden Quadrate berechnen
Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist
Quadrat aus der Differenz der Basen bilden
$$ \begin{array}{ccccccc} a^2 & - & 2ab & + & b^2 & = & ({\color{red}a}-{\color{red}b})^2 \\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&\text{Doppeltes Produkt}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}a}$)}&&\text{der beiden Basen}&&\text{(Basis ${\color{red}b}$)}&& \\ &&2 \cdot (a \cdot b)&&&& \\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ {\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}} \end{array} $$
zu 1)
$a$ und $b$ sind die Basen (Einzahl: Basis) der Potenzen $a^2$ und $b^2$.Eine Potenz mit einem Exponenten von $2$ bezeichnet man auch als Quadrat.
Um die Basis (z. B. $a$) eines Quadrats (z. B. $a^2$) zu berechnen, müssen wir die Wurzel ziehen.
zu 2)
Häufig sind Terme gegeben, die nur auf den ersten Blick so aussehen, als ob man sie mithilfe der 2.Binomischen Formel faktorisieren könnte. Die beiden Basen (1.Schritt) lassen sich meist ohne Probleme berechnen. Danach sollte man jedoch überprüfen, ob das mittlere Glied auch wirklich das doppelte Produkt der beiden Basen ist. Gilt das nämlich nicht, ist ein Faktorisieren mithilfe der 2.Binomischen Formel nicht möglich.
Beispiel 4
Wandle den Term $x^2 - 10x + 25$ in ein Produkt um.
Basen der beiden Quadrate berechnen
$$ a^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{a^2} = \sqrt{x^2} = {\color{red}x} $$
$$ b^2 = 25 \: \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{b^2} = \sqrt{25} = {\color{red}5} $$
Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist
$$ 2 \cdot ({\color{red}x} \cdot {\color{red}5}) = 10x $$
Da $10x$ dem mittleren Glied des gegebenen Terms entspricht,kann mithilfe der 2.Binomischen Formel faktorisiert werden.
Quadrat aus der Differenz der Basen bilden
$$ \begin{array}{ccccccc} x^2 & - & {\color{green}10x} & + & 25 & = & ({\color{red}x}-{\color{red}5})^2 \\ \downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&{\color{green}\text{Doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}x}$)}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis ${\color{red}5}$)}&& \\ &&{\color{green}2 \cdot (x \cdot 5) = 10x}&&&& \end{array} $$
Beispiel 5
Wandle den Term $4x^2 - 14x + 9$ in ein Produkt um.
Basen der beiden Quadrate berechnen
$$ a^2 = 4x^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{a^2} = \sqrt{4x^2} = {\color{red}2x} $$
$$ b^2 = 9\phantom{x^2} \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{b^2} = \sqrt{9} = {\color{red}3} $$
Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist
$$ 2 \cdot ({\color{red}2x} \cdot {\color{red}3}) = 12x $$
Da $12x$ nicht dem mittleren Glied ($14x$) des gegebenen Terms entspricht,kann nicht mithilfe der 2.Binomischen Formel faktorisiert werden:
$$ \begin{array}{ccccccc} 4x^2 & - & {\color{red}14x} & + & 9 & = & ??? \\ \downarrow&&{\color{red}\downarrow}&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&{\color{red}\text{Doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}2x}$)}&&{\color{red}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis ${\color{red}3}$)}&& \\ &&{\color{red}2 \cdot (2x \cdot 3) = 12x}&&&& \end{array} $$
